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很是靠近于全数可能的微不雅状 态数.按照等概
发布日期:2019-11-06

  第六章 近独立粒子的最概然分布 - 副本._中职中专_职业教育_教育专区。第六章 近独立粒子的最概然分布 §6.1 粒子活动形态的典范描述 §6.2 粒子活动形态的量子描述 §6.3 系统微不雅活动形态的描述 §6.4 等概率道理 §6.5 分布和微不雅形态 §6.6 玻耳兹曼

  第六章 近独立粒子的最概然分布 §6.1 粒子活动形态的典范描述 §6.2 粒子活动形态的量子描述 §6.3 系统微不雅活动形态的描述 §6.4 等概率道理 §6.5 分布和微不雅形态 §6.6 玻耳兹曼分布 §6.7 玻色分布和费米分布 §6.8 三种分布的关系 中北大学 物理系 粒子之前§的相关6.1学问点粒?子活动形态的典范描述 宏不雅物体 是由大量微不雅粒子形成的,而且这些微不雅粒子 不断地进行着无法则的活动。 研究方式:1、热力学方式 2、统计物理学方式 统计物理是研究热活动的微不雅理论。它认为宏不雅物 理系统是由大量微不雅粒子构成的,物质的宏不雅性质是大 量微不雅粒子活动的集体表示,宏不雅物理量是响应微不雅量 的统计平均值。 微不雅量 对应 微不雅形态 我们先看看如 何描述粒子的 活动形态!! 中北大学 物理系 活动形态 是指粒子的力动形态. 按照它服从的是典范的仍是量子的力动纪律,分为典范描 述和量子描述,那么对给定的系统事实是采用典范的仍是量子 的描述,其判断的方式就是操纵测不准关系ΔqΔp≈h 。 注:准绳上说微不雅粒子是服从量子力学的活动纪律的.典范理论正在必然 的极限前提下仍具成心义. 一、典范描述 设粒子的度为r,粒子正在任一时辰的力动形态由粒子 的r个广义坐标q1、q2、…qr和响应的r个广义动量p1、p2、…pr正在该 时辰的数值确定,粒子能量ε是其广义坐标和广义动量的函数 即 ε = ε ( q1、q2、…qr , p1、p2、…pr) 更一般 ε = ε (qi、pi、λi ) (i = 1、2、…r) λ为非参量 若是存正在外场, ε仍是描述外场参量的中函北数.大学 物理系 正在阐发力学中,一般把以广义坐标和广义动量为自变量的 能量函数写成H函数, 即 ε = H( qi、pi ) (i = 1、2、…r) 活动方程为 & qi ? ?H ?pi & pi ? ?(??iHp=i 1、2、…r) 当某一初使时辰 t0 给定了qi、pi 的初值qi0、pi0 之后,由 正则活动方程可确定正在任何接踵时辰t, qi、pi 的数值,因此这 个力学系统的活动形态就完全确定了。 所以一组qi、pi 数值确定这个系统的一个活动形态,如许 所确定的活动形态把每个粒子的活动形态都完全确定了. 这就 是微不雅活动形态。 而利用粒子的坐标和动量的方式叫做微不雅描述法,也能够 借帮几何暗示法会商力学系统活动形态,用q1、q2、…qr ; p1、 p2、…pr为曲角坐标形成一个2r维空间,这个空间称为相空间 (即μ空间)。 中北大学 物理系 相空间任何一点代表力学系统一个活动形态,这个点称为 代表点。 当粒子活动形态随时间改变时,代表点响应地正在μ空间中 挪动,描绘出一条轨迹称为相迹。 也称为相轨道。 二、具体事例 我们来找出下面的自量由!度 坐标 动量 能量 相空间 (一)粒子 不受力的感化而做的粒子. 当不存正在外场时,抱负气体的或金属的电子都可 看做粒子. 1一维空间中活动 度 r=1 确定粒子正在任一时辰的的坐标 x 动量 p ? mx? 能量 ? ? p2 相空间 2维r 维 2中m 北大学 物理系 2三维空间中活动 度 r=3 坐标 x, y, z 动量 px ? mx? py ? my? pz ? mz? ? ? 能量 ?? 1 2m px2 ? py2 ? pz2 相空间 26r 维 (二)线性谐振子 质量为m的粒子正在弹性力 f= -Ax感化下,将正在原点附近做 简谐振动,称为线性谐振子.振动的圆频次为?=(A/m)1/2.取决 于弹性力系数A和粒子的质量m. 正在必然前提下,内原子的振动,晶体华夏子或离子正在 其均衡附近的振动都可看做简谐振动. 度 r=1 坐标 位x移 共轭动量 p ? mx? 能?量? p是2 其? 动A能x和2 势? 能p之2 和? 1 m? 2 x2 相空间 2维r 维 2m 2 2m 2 中北大学 物理系 以x和p为曲角坐标,可形成二维的μ空间,振子正在任一时 刻活动形态由μ空间中的一点暗示。 若是给定振子的能量ε,对应点的轨迹就由如下方程确定: p2 ? 2m? x2 2? m? 2 ?1 即为椭圆方程 椭圆的两个半轴 a和b, p 椭圆的面积等于 ?ab=2??/?. n=3 对于服从典范力学规 n=2 n=1 律的谐振子,振子的能量 n=0 准绳上可取任何正值. q 能量分歧,椭圆就分歧. 中北大学 物理系 § 6.2 粒子活动形态的量子描述 一、量子描述 20世纪当不少物理学家为光的波粒二象到迷惑时, 物理学家德布罗意于1924年提出一个: 一切微不雅粒子都具有波粒二象性. 把标记波动性质的量:圆频次ω和波矢k 通过一个普适常 数h 用标记粒子性质的量:能量ε和动量 p 联系起来。 德布罗意关系 ε = ?ω p = ?k 合用于一切微不雅粒子 . 能量为ε和动量为p 的粒子联系着圆频次为ω和波矢为 k 的平面波,称为德布罗意波. 中北大学 物理系 普朗克: ? = h/2π h=6.626?10-34 J? S ? =1.055 ?10-34 J? S 普朗克是物理中的根基,它的量纲是 [时间] ·[能量]=[长度] ·[动量]=[角动量] 如许一个物理量凡是成为感化量,因此普朗克也称为 根基的感化量子。 这个感化量子成为判别采用典范描述或量子 描述的判据。 当一个物质系统的任何具有感化量纲的物理量具有取普朗 克比拟拟的数值时,这个物质系统就是量子系统。 若是物质系统的每一个具有感化量纲的物理量用普朗克常 数来量度都很是大时,这个系统就能够用典范力学来研究. 正在量子力学中,微不雅粒子的活动形态称为量子态。 中北大学 物理系 量子态由一组量子数表征. 量子数的数目=粒子的度数 微不雅粒子的活动不是轨道活动,这一点我们能够做如下 注释:继德布罗意之后,1927年,海森堡正在研究粒子和波动的 二象性时,获得一个主要的成果: 微不雅粒子不成能同时具有 确定的动量和坐标。 即用Δq暗示粒子坐标的不确定值和Δp暗示粒子动量不确 定值,正在量子力学所容许的最切确的描述,Δq取Δp的乘积满 脚 测不准关系 ΔqΔp≈h 申明:量子正在客不雅上不克不及同时具有确定的坐标及响应的 动量,因而这活泼地申明微不雅粒子的活动不是轨道活动,是 微不雅粒子的活动形态不是用坐标和动量来描述的,而是用波 函数或量子数来描述的。 中北大学 物理系 测不准关系也可暗示为 Δp≈h/Δq Δq≈h/ Δp 也称为不确定关系. 表白: 若是粒子的坐标具有完全确定的数值,即?q?0, 则粒子的动量将完全不确定 ?p??. 若是粒子的动量具有完全确定的数值,即?p?0, 则粒子的坐标将完全不确定 ? q ??. 正在典范力学的理论中,粒子能够同时具有确定的坐标和动 量,这并不是正在现实上我们能够肆意的切确度做到这一点,而 是说正在典范的理论中,准绳上不答应对这种切确度有任何限 制.出格地正在典范范畴内,波动量很小,致使于探测不到。因 此认为物质有确定的坐标和动量,这并不取测不准关系发生矛 盾。 中北大学 物理系 二、具体事例 (一)自旋形态 考虑一个粒子,质量为m,电荷为-e,具有自旋角动量1/2. 粒子的自旋磁矩?取自旋角量子数S之比为 ? ? ? e Sm 若是加上沿Z标的目的的外,磁强度为B,则粒子自旋 角动量正在外标的目的的投影SZ有两个可能值,即SZ=??/2。 自旋磁矩正在外标的目的的投影响应为?Z= ?e ?/2m。 粒子正在外中的势能为 ? ? ? B ? ? e? B 2m 将SZ暗示为SZ=mS ?,描述粒子的自旋形态只需一个量子 数mS,只能取两个分立的值?1/2。 中北大学 物理系 (二)线性谐振子 振动的圆频次为?的线性谐振子. 能量的可能值为 ?n ? ??(n ? 1) 2 n=0,1,2?? 此中 n:表征线性谐振子的活动形态和能量的量子数。 上式给出的能量值是分立的。分立的能量称为能级。 线性谐振子的能级是等间距的,相邻两能级的能量差为 ? ?,其大小取决于振子的圆频次。 中北大学 物理系 (三)粒子 空间中一个的粒子,假设此粒子正在一个边 长为L的方盒子中活动。 y 正在量子力学中粒子的活动满脚薛定谔方程: A A ? ? ? ?2 ?2??r?? ? E??r?? 2m 此中 r? ? ? xi ? ? yj ? ? zk 0 z L x 上式可变成为: ? ?2 ?2??r?? ? P2 ??r?? 2m 2m 解为: ??r?? ? c exp ?i ?? ? ? p ? r???? 按照周期性鸿沟前提,正在点A(l/2,y,z)和A‘ (-l/2,y,z)ψ (r)应不异。即: 中北大学 物理系 cexp????i ?? ? ? L 2 px ? py y ? pz z ?????? ? c exp?? ? i ? ?? ? 1 2 px L ? py y ? pz z ?????? ∴ exp ?? ? i ? px L ?? ? ?1 px ? 2?? L nx n=0, ? 1, ? 2? 同理可得: 2?? py ? L ny 和 pz ? 2?? L nz 此中 nx,ny,nz:表征三维粒子活动形态的量子数。 以上的式子暗示,动量只能取分立的值。 能 量: ? nx ? p 2 x 2? 2? 2 ? 2m m nx2 L2 能 量 是 ? ? 总能量: ? 2? 2? 2 ? mL2 nx2 ? n 2 y ? nz2 分 立 的 量子态由量子数nx,ny,nz来描述,对于一确定的能量ε, nx, ny,nz可取分歧的值,因而,对于一确定的能量来说,系统有许 多量子态。 中北大学 物理系 典范粒子的动量和能量是持续的,而正在量子景象中,动量 和能量是分立的,这是局域正在有理空间范畴的量子粒子的特征. 若是某一能级的量子态不止一个,该能级称为简并的, 能级的量子态数成为该能级的简并度. 若是某能级只要一个量子态,该能级称为非简并的. 如:能量 ? ? ? ? 2? 2? 2 mL2 nx2 ? n 2 y ? nz2 能量取决于三个量子数的 平方和,因而处正在一个能级的量 子形态一般不止一个. 三个量子数的平方和=1时, 量子态有6个. nx=0 ny=0 nz=?1 nx=0 ny= ?1 nz=0 nx= ?1 ny=0 nz=0 中北大学 物理系 一维的环境: 周期性鸿沟前提: L根?据n周x 期? 性边nX界=条0,件1,,?2粒?子可能的运 动形态,德布罗意波长?的整数倍等于容 波 矢 量: 器的kx长?度2L??.? 2? L nx nx=0, ? 1, ? 2? 动 量: px ? ?k ? 2?? L nx nx=0, ? 1, ? 2? 能 量: ? ? 2?2? 2 mL2 nx2 nx=0, ? 1, ? 2? 相邻两个能级的间距: ? ? ?? ? ? nx ?1 ? ? nx ? L?2? 2 mL2 2nx ?1 明显,若L?∞时,Δε ?0,即能量中此时北是大连学续的。物理系 三维的环境: 周期性鸿沟前提: L ? nx ? L ? ny ? L ? ny ? 波矢量: kx ? 2? L nx ky ? 2? L ny kz ? 2? L nz 动 量: px ? 2?? L nx py ? 2?? L ny 2?? pz ? L nz 能 量: ?x ? 2?2? 2 mL2 nx2 ?y ? 2?2? 2 mL2 n 2 y ?z ? 2?2? 2 mL2 nz2 ? ? 总能量: ? 2? 2? 2 ? mL2 nx2 ? n 2 y ? nz2 中北大学 物理系 三、粒子的形态取相空间体积元的对应关系 正在统计物理学所会商的某些问题中,普朗克取相关的 物理量比拟是一个较小的量,这时,能够操纵半典范近似认为 粒子是沿着满脚量子化前提的那些轨道做轨道活动的。这些量 子化轨道取量子描述中的量子形态相对应。 由测不准关系可知,坐标和动量不克不及同时取确定的值,所 以量子态不克不及用相空间的一点来描述,而使用一个别积元, 称为相格,相格的大小为h. 度为r 的粒子,相格大小为: ?q1 ??? ?qr?p1 ??? ?pr ? hr 若是将?空间划分为若干个别积元Δωl(l =1,2…),则 正在体积元Δωl中粒子可能的形态数为Δωl/h r 。 中北大学 物理系 例如: 空间中一个的粒子,假设此粒子正在一个边 长为L的方盒子中活动。 容器的体积 px ? 2?? L nx 同理 V=L3 . 其内的动量,能量都是持续的. dpx ? 2?? L dnx dnx ? L 2?? dpx dny ? L 2?? dpy dnz ? L 2?? dpz 体积V内,动量范畴内的三维粒子的量子态数为 dnxdny dnz ? L 2?? dpx L 2?? dpy L 2?? dpz ? Vdpxdpy dpz h3 上式可理解为:三维粒子的一个形态对应于? 空间中 体积为h3 的一个别积元. 正在?空间的体积为Vdpxdpydpz内,自 由粒子可能的形态数. 中北大学 物理系 常用动量空间中的球极坐标p,θ,? pz 来描写粒子的动量p,θ, ?取px、 py、pz的关系为: px ? p sin? cos? ? py ? p sin? sin ? ? py pz ? p cos? px 用球极坐标,动量空间的体积元为: d? ? dp ? pd? ? p sin?d? ? p2 sin?dpd?d? 正在体积V内,动量正在p到p+dp,θ到θ+dθ,φ到φ+dφ,粒 子可能的形态数为: Vp 2 sin?dpd?d? h3 中北大学 物理系 若是对θ 和 ? 进行积分, θ 由0到? , ? 由0到2?. ? ? ? ? 2? ? d? 0 0 sin ?d? ? ? 2? 0 (cos ? ? o )d? 2? ? 2 d? ? 4? 0 正在体积V内,动量绝对值正在p到p+dp的范畴内,粒子 可能的形态数为: ? ? Vp2dp 2? d? 0 h3 ? sin ?d? 0 ? 4?V p2 dp h3 ? ? P2 2m P ? 2m? d? ? 2PdP ? PdP 2m m dP ? m d? ? P m d? 2m? 中北大学 物理系 以能量形式暗示,正在V内,正在ε 到ε+d ε的范畴内, 粒子可能的形态数为: ? ? 4?Vp 2dp h3 ? 4?V h3 2m? 2 ( m d? ) 2m ? ? 4?V h3 ? ? 2? ? 1/ 2 m3/ 2d ? 2?V h3 ? ? 2m ? ? d 3/ 2 1/ 2 定义态密度 D(ε)暗示单元能量间隔内的可能形态数. D?? ? ? 2?V h3 ? ? ? 2m 3/ 2 1/ 2 体积V内,正在ε 到ε+d ε的范畴内,粒子可能的形态 数为: D?? ?d? ? 2?V h3 ? ? 2m 3/ 2 ? 1/ 2d? 中北大学 物理系 以上的计较没有考虑粒子的自旋,若是粒子的自旋不等 于零,还要考虑自旋的贡献。 例如: 粒子的自旋量子数为1/2,则自旋角动量正在动量标的目的 的投影有两个可能值??/2 . 以上求得的成果都该当乘以2. 中北大学 物理系 小结 粒子活动形态的描述 1 典范粒子的特征及其形态的描述 典范粒子的特征 典范粒子活动形态的描述 2 量子粒子的特征及其形态的描述 量子粒子的特征 量子粒子活动形态的描述 3 两种描述的关系 中北大学 物理系 典范粒子的特征 凡正在活动中服从典范力学纪律的粒子,称为典范粒子。 典范粒子具有“颗粒性”:典范力学中一个“粒子” 总意味着对应一个具有必然的质量、电荷等属性的客 体,此即其“颗粒性”。 典范粒子的活动是轨道活动:按照典范力学纪律,对 于一个典范粒子,当给出初始时辰的坐标和动量后, 便可切当得出它正在任何时辰的坐标和动量,即晓得其 活动轨迹。 全同的典范粒子是能够区分的:具有完全不异的属性 (质量、电荷、自旋等等)的同类粒子称为全同粒子, 因为典范粒子的活动是轨道活动,因而准绳上是能够 被“”的。 典范粒子的能量必然是持续的:按照典范力学的概念, 正在答应的能量范畴内,粒子的能量可取任何值。也就 是说,典范粒子的能量形态是持续变化的。 中北大学 物理系 典范粒子活动形态的描述 对典范粒子活动形态的描述称为典范描述。 粒子的度为r ,粒子正在任一时辰的力动形态由r 个正在广该义时坐刻标的数q1 值,q所2 ,确…定,q。r 和响应的r 个广义动量p1 , p2 ,…,pr 粒子的能量ε 是其广义坐标和广义动量的函数: ε =ε ( q1 ,q2 ,…,qr ;p1 ,p2 ,…,pr ) 当存正在外场时,ε 仍是描述外场参量的函数: ε =ε ( q1 ,q2 ,…,qr ;p1 ,p2 ,…,pr ;y1 ,y2 ,…,yn ) 此中y1 ,… ,yn 是所有描述外场的参量。 为了抽象地描述粒子的力动形态,我们用 q1 , …,qr ; p1 ,p2 ,…,pr 共2r 个参量做成曲角坐标,形成 一个2r 维空间,称为μ空间(或粒子相空间)。 中北大学 物理系 会商: ?μ 空间的意义:μ 空间中的点取粒子的活动形态 逐个 对应,称为代表点。当粒子的活动形态随时间变化时,代 表点响应地正在μ 空间中挪动构成一条轨迹,称为相轨迹。 ?相体积元:因为典范粒子的能量持续取值,所以描写经 典粒子的活动形态的广义坐标和广义动量也持续取值,即 μ 空间是一个持续的相空间。正在2r 维μ 空间中的体积元 暗示为 dω = dq1dq2…dqr·dp1dp2…dpr ? 相格:往往我们还把相体积元dω 再划分成很多大小相 同的更小体积元,称为相格。划分相格的准绳是,正在同 一相格内各点的坐标、动量的误差可忽略,就是说分歧 的相格代表分歧的活动形态。鄙人面粒子活动形态的描 述中将看到,因为不确定关系的,每个相格的大小 为hr 。为了同一,正在2r 维μ 空间中,一个相格的大小 就取为hr 。 中北大学 物理系 ? 相格数(形态数):由上述会商得出,正在2r 维μ 空间中, 处于( q1 ,q2 ,…,qr ;p1 ,p2 ,…,pr ) 附近dω 内的相格 数为 d? hr ? dq1dq2 ?dqr ? dp1dp2 ?dpr hr 中北大学 物理系 量子粒子的特征 凡正在活动中服从量子力学纪律的粒子,称为量子粒子。 量子粒子的分类:量子粒子可分为定域的和非定域的两 大类。被限制正在其均衡附近做微振动的粒子称为定域的 量子粒子,简称定域子。非定域的量子粒子又分为费米子和 玻色子两类。自旋为半整数的粒子称为费米子,费米子服从 泡利不相容道理。自旋为整数或零的粒子称为玻色子。 波粒二象性:正在光的波粒二象性下,德布罗意于 1924年提出一条假设:取具有必然能量ε 及动量p 的粒子相 联系的物质波的频次及波长别离为 ? ? E , ? ? h h p 上式把微不雅粒子(量子粒子)的波动性取颗粒性同一正在一个 客体上。大量的尝试现实表白,波粒二象性是微不雅粒子的基 本属性。 中北大学 物理系 不确定关系(测不准关系):量子粒子满脚 Δ xΔ px≥h 此即不确定关系。 它表白,当粒子被局限正在 x 标的目的的一个无限范畴 Δ x 内Δ p时x ,,取两之者相的应乘的积动满量Δ分x量Δppxx必≥然h 有。一个不确定的数值范畴 全同的量子粒子是不成区分的:因为量子粒子同时具有波粒 二象性,它的活动不是轨道活动,准绳上是不成能的。 但对于定域的量子粒子,能够通过识别每个粒子的来区 分。 能量量子化:量子粒子的能量能够不持续取值,即只能处于 某些特定的能量形态,这些分立的能量形态称为能级,这种 现象称为能量的量子化。 中北大学 物理系 量子粒子活动形态的描述 量子粒子的活动形态称为量子态。 对量子态的描述称为量子描述。 因为微不雅粒子的波粒二象性,以致微不雅粒子正在客不雅上不克不及 同时具有确定的坐标及响应的动量,当然就不成能同时用粒子 的坐标和动量简直定值来描述粒子的活动形态。那么事实如何 描述微不雅粒子的活动形态呢? 正在量子力学中假定:微不雅粒子的活动形态由一个波函数 (r,t)所完全描述。 申明: 所谓“完全描述”是指,一旦 (r,t)给定就可 以得出粒子的所有性质。 中北大学 物理系 (r,t)的物理意义: 波函数的模平方取t时辰正在空间r处单元体积内发觉 粒子的概率成反比。 (r,t)必需是单值、无限和持续的。 单值:空间任一点,概率只能有一个值; 无限:概率不克不及无限大; 持续:概率不会正在某处突变。 粒子的波函数满脚薛定谔方程 H?(r,t) ? i? ? ?(r,t) ?t 中北大学 物理系 两种描述的关系 我们别离会商了粒子活动形态的典范描述和量子描述。 到底何时用典范描述,何时用量子描述呢? 不确定关系为我们供给了判断的根据。 正在任何具体问题中,若是h 能够忽略不计,那么Δ x 和 Δ px正在物理上就可同时为零,于是典范力学就完全合用于这 类问题。 若是h 的大小不克不及忽略,那就必需使用量子理论。 最初指出,正在统计物理学所会商的某些问题中,普朗克 h 取相关的物理量比拟是一个小量,这时粒子的波动性 表示得相当微弱,能够使用半典范近似理论来处置。 半典范近似理论认为,量子粒子仍可用空间描述,即粒 子沿着确定的轨道活动,但这个轨道不是典范力学所答应的 任何轨道,而是满脚量子化前提的那些轨道。 中北大学 物理系 § 6.3 系统微不雅活动形态的描述 所谓系统的微不雅形态就是它的力动形态。 一、全同近独立的粒子系统 全同的粒子构成的系统: 是由具有完全不异的属性(相 同的质量、自旋、电荷等)的同类粒子所构成的系统. 如电子构成的电子气体是全同的粒子构成的系统。 近独立的粒子构成的系统: 是指粒子之间的彼此感化很弱, 彼此感化的平均能量远小于单个粒子的平均能量,因此能够 忽略粒子之间的彼此感化。 将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和: N E ? ??i i ?1 抱负气体就是由近独立的粒子构成中的北系大统。学 物理系 二、系统微不雅活动形态的典范描述 设粒子的度为r . 粒子的典范描述中,正在肆意时辰,第i个粒子的力动 形态由 r 个广义坐标和 r 个广义动量来描述. 当构成系统的N 个粒子正在某一时辰的抱负活动形态都确定 时,也就确定了整个系统的正在该时辰的活动形态。因而确定系 统的微不雅活动形态需要qi1、qi2、…qir; pi1、pi2、…pir , 2Nr个变 量来确定。 特点: 全同粒子是能够分辩的.(由于典范粒子的活动是轨道运 动,准绳上是能够被的)。若是正在含有多个全同粒子的系 统中,将两个粒子的活动形态加以互换,互换前后,系统的力 动形态是分歧的。 对于可分辩的全同粒子,确定由全同近独立粒子构成的系 统的微不雅形态归结为确定每一个粒子的体量子态。 中北大学 物理系 例如第i个粒子和第j个粒子形态本来为(q1′、q2′、…qr ′;p1′、 p2′、…pr′)和(q1〞、q2〞、…qr 〞; p1〞、p2〞、…pr〞若是 ) 将它们的活动形态加以互换,系统活动形态是分歧的。如 下图: i j j i 互换前 互换后 一个粒子正在某时辰的力动形态能够正在μ 空间顶用 一个点暗示,由N个全同粒子构成的系统正在某时辰的微不雅 活动形态能够正在μ 空间顶用N个点暗示,那么若是变化两个 代表点正在μ 空间的,响应的系统的微不雅是分歧的。 中北大学 物理系 三、系统微不雅活动形态的量子描述 特点: 全同粒子是不成分辩的,正在含有多个全同粒子的系统中, 将任何两个全同粒子加以对调,不改变整个系统的微不雅形态, 此为微不雅粒子的全同性道理。 对于不成分辩的全同粒子,确定由全同近独立粒子构成的 系统的微不雅形态归结为确定每一个别量子态的粒子数。 典范粒子的活动是轨道 活动,准绳上能够 典范粒子的活动,加以 辨认.2 量子粒子具有波粒子二象性.不是 轨道活动,准绳上不克不及够粒子 的活动.粒子波动可能发生堆叠, 不克不及辨认粒子. t=0 1 2 t=0 1 中北大学 物理系 微为不雅了粒确子定可量为态两上类的:粒子数,我们要区分一下微不雅粒子. 1、玻色子:即自旋量子数是整数的。 如光子自旋量子数为1、π 介子自旋量子数为0,是玻色子 2、费米子:即自旋量子数为半整数的。 如电子、质子、中子等自旋量子数都是1/2,是费米子 玻色子取费米子的关系: 凡是由玻色子形成的复合粒子是玻色子,由偶数个费米 子形成的复合粒子是玻色子,由奇数个费米子形成的复合粒 子是费米子。 费米子服从泡利不相容道理,即正在含有多个全同近独立 费米子的系统中,占领一个个别量子态的费米子不成能跨越 一个,而玻色子形成的系统不受泡利不相容道理的束缚,此 外,费米子和玻色子服从分歧的统计。 中北大学 物理系 1费米系统:由费米子构成的系统。服从泡利不相容道理. 2玻色系统:由玻色子构成的系统。不受泡利不相容道理. 无论是费米系统仍是玻色系统,正在量子描述中,粒子都是 不成分辩的. 玻尔兹曼成立了一个粒子可分辩的系统. 3玻尔兹曼系统:由可分辩的全同近独立粒子构成的系统。且 处正在一个个别量子态上的粒子的数目不受. 换个角度说,微不雅粒子还遭到空间的,因此分为定域 的和非定域的. 定域系统可用粒子的来分辩粒子,对于非定域系统, 必需考虑微不雅粒子的全同性道理。 因而,玻尔兹曼系统为定域系统;费米系统和玻色系统 为非定域系统. 中北大学 物理系 系统微不雅活动形态的量子描述仍是由系统的波函数或量 子数来表征,只是分歧的系统来说,对一确定的分布,其微 不雅形态是分歧的。 设系统由两个粒子构成,粒子的个别量子态有3个,若是 这两个粒子是定域子、玻色子、费米子时,试别离会商系统各 有那些可能的微不雅形态? 费米系统:粒子不成分辩,每个个别量子态最多能容纳 一个粒子,两个粒子占领3个个别量子态有以下的体例: 量子态1 ① A ② ③ A 量子态2 A A 量子态3 A A 因而,对于费米系统,能够有3个分歧的微不雅形态 中北大学 物理系 玻色系统:粒子不成分辩,每一个个别量子态所能容 纳的粒子数不受,因为不成分辩,令A=B,两个粒子 占领3个个别量子态有以下的体例: 量子态1 ① AA ② ③ ④ A ⑤ ⑥ A 量子态2 AA A A 量子态3 AA A A 因而,对于玻色系统,能够有6种分歧的微不雅形态 中北大学 物理系 定域系统,粒子能够分辩,每个个别量子态能容纳的粒 子数不受,以A、B 暗示能够分辩的两个粒子,它们占 据3个个别量子态能够有以下的体例: ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 量子态1 AB ABAB 量子态2 AB BA AB 量子态3 AB BABA 因而,对于定域系统可有9种分歧的微不雅形态 中北大学 物理系 § 6.4 等概率道理 本章研究均衡形态下,近独立粒子的最概然分布. 等概率道理是均衡态统计物理的根基假设. 宏不雅物质系统是由大量微不雅粒子形成,其粒子数的典型 数值为10??/mol,做为热活动的宏不雅理论,热力学讲述的状 态是宏不雅形态,由几个宏不雅参量表征. 对于一个孤立系统,能够用粒子数N,体积V 和能量E来 表征系统的均衡态;更切确地说,该当认为系统的能量是正在 E附近的一个狭小的能量范畴内,或者说系统的能量是正在E到 E+ΔE之间。形态参量给定后,处正在均衡态的系统的所有宏 不雅物理量就都具有确定值,系统就处正在一个确定的均衡态。 但正在宏不雅形态确定的情下,系统可能的微不雅形态是大量的, 并且微不雅形态不竭地发生着极其复杂的变化。 中北大学 物理系 统计物理认为,宏不雅物质系统的特征是大量微不雅粒子 活动的集体表示,宏不雅物理量是响应微不雅物理量的统计平 均值。 玻耳兹曼正在19世纪70年代提出了出名的等概率道理, 即:对于处正在均衡态的孤立系统,系统的各个可能的微不雅 形态呈现的概率是相等的。 说 明: 这些微不雅形态都同样满脚具有确定N、E、V的宏不雅条 件,没有来由认为哪一个形态呈现的概率更大一些。这些 微不雅形态该当是平权的。 中北大学 物理系 § 6.5 分布和微不雅形态 设有一个系统,由大量全同近独力的粒子构成,具有确定 的粒子数N、能量E和体积V。 N个粒子的正在各能级的分布能够描述如下: 能 级 ε1, ε2, … εl,… 简并度 ω1,ω2,… ωl,… 粒子数 α1, α2,… αl,… 即,能级ε1上有α1个粒子,能级ε2上有α2个粒子,… 一 定义分布: ?al?暗示数列 α1, α2,… αl,… 明显,对于具有确定的N,E,V的系统,分布必需满脚 ? al ? N l ? al?l ? E l中北大学 物理系 例如: 1 V必然,N=2,E=2,求分布?al? . 能 级 ε1=0 ε2=1 ε3=2 ε4=3 简并度 ω1=1 ω2=3 ω3=2 ω4=1 解析:所求的分布必需满脚 ? al ? N ? 2 l ? al? l ? E ? 2 l ε4=3 ε3=2 ε2=1 ε1=0 粒子数 a4 a3 a2 a1 ?a1? ?a2? 00 0 0 10 0 1 00 12 0 12 0 0 可能有两种分布. 中北大学 物理系 2 V必然,N=3,E=5,求分布?al? . 能 级 ε1=0 ε2=1 ε3=2 ε4=3 ε5=4 ε6=5 简并度 ω1=1 ω2=3 ω3=2 ω4=1 ω5=4 ω6=2 解析:所求的分布必需满脚 可能有4种分布. ? al ? N ? 3 l ? al?l ? E ? 5 l ε6=5 ε5=4 粒子数 ?a1? a6 0 a5 1 ?a2? 0 0 ?a3? 0 0 ?a4? 0 0 ε4=3 ε3=2 ε2=1 a4 0 a3 0 a2 1 1 0 1 1 2 0 0 1 2 ε1=0 a1 1 1 0 0 中北大学 物理系 给定一个分布后,只能确定处正在每一个能级εl上的粒子数al, 可是粒子正在该能级上哪个微不雅形态上还不克不及确定. 二 微不雅形态是粒子的活动形态,即量子态。 对于非定域系(费米系统和玻色系统),正在量子描述下, 粒子不成分辩,要确定系统的微不雅形态,要求确定处正在每一个 个别量子态上的粒子数。 正在分布给定后,为了确定非定域系的微不雅形态,还必需对 每一个能级εl确定al个粒子占领其ωl个量子态的体例。 对于定域系(玻尔兹曼系统),正在量子描述下,粒子可分 辨,确定系统的微不雅形态要求确定每一个粒子的个别量子态. 正在分布给定后,为了确定定域系的微不雅形态,还必需确定 处正在每一能级εl上的是哪al个粒子,以及正在每一能级εl上al个粒 子占领其ωl个量子态的体例。 每一种分歧的占领体例都反映分歧中的运北动大状学态。 物理系 分布取微不雅形态数的区别: 分布只暗示每一个能级上有几个粒子. 如a1=1, a2=4,a3=6,暗示正在第一个能级上有1个粒子, 正在第2个能级上有4个粒子,正在第3个能级上有6个粒子。 如a1=0, a2=2,a3=9,暗示正在第一个能级上有0个粒子,博胜堂官网, 正在第2个能级上有2个粒子,正在第3个能级上有9个粒子。 微不雅形态是粒子活动形态或称为量子态。它反映的是粒子 活动特征。 例如:正在某一能级上,假设有3个粒子,这三个粒子是若何 占领该能级的量子态,也就是它的微不雅形态。上节中的两个粒子 和三个个别量子态,鉴定有那些微不雅形态. 就一个确定分布而言,取它响应的微不雅形态数是确定的。 分歧的分布,有分歧的微不雅形态数。如上边提到的分布{1, 4,6}和{0,2,9},它们别离有分歧的微中不雅北状大态数学。 物理系 微不雅形态对于玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统明显是不 同的,下面别离加以会商: 从统计物理的角度来看一下正在已知分布的环境下,对于各个 系统其对应的微不雅形态数. 1 费米系统 (ωl ?αl) 特征:粒子不成分辩,每一个个别量子态最多只能容纳一个粒子。 αl 个粒子 12 3456789 αl 能级εl上的ωl 1 1 1 个 量子态 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ωl 第一个粒子占领量子态的可能性为 ωl种; 第二个粒子占领量子态的可能性为 (ωl -1)种; 第αl个粒子占领量子态的可能性为中(北ωl 大-学αl+1物)种理;系 αl 个粒子占领能级εl上的ωl个 量子态,相当于从ωl个量子态 中挑出αl个来为粒子所占领,其可能性为 ωl (ωl -1) ?(ωl -αl+1)种 ?l ??l ? 1???l ? al ? 1? ? ?l ??l ? 1???l ? al ? 1?[??l ? al ????l ? 2???l [??l ? al ????l ? 2???l ? 1?] ? 1?] ? ??l ?l ! ? al ? ! 统一能级上(各量子态对应能级不异),有al!种互换能级 的方式.因为粒子不成分辩,所以形态不异,所以应除以al!. 将各能级的成果相乘,就获得费米系统取分布响应的微不雅 形态数为: ? ?F .D. ? l ?l ! al !??中l 北? 大al 学? ! 物理系 2 玻色系统 特征:粒子不成分辩,每个个别量子态能容纳的粒子个数 不受。 因为个别量子态上容纳的粒子数不受,我们能够使用 数学中的方式全陈列.我们正在陈列的时候,将形态和粒子排成 一行.量子态上的粒子排正在其左侧. 那么就可能有如许的陈列: 1 2 3 1 234 4 5 56 6 7 78 9 8 9 ωl αl 这个陈列暗示:量子态1上没有粒子,量子态2上有1个 粒子,量子态3上有3个粒子,量子态4上有2个粒子, ? 量子态L上有1个粒子. 因为左方第一个固定为量子态1,则其余的量子态和粒子 的总数是 (ωl +αl-1)个 中北大学 物理系 对于这(ωl +αl-1)个量子态或粒子的陈列就相当于 此中的粒子正在量子态上数目标改变. 这种陈列的体例共有 (ωl +αl-1)!种 例如:互换量子态2和粒子1的,其他不变,有 12 1 3 234 4 5 56 6 7 78 9 8 9 ωl αl 陈列暗示:量子态1上有1个粒子,量子态2上没有粒子,? 再互换粒子1和粒子4的,其他不变,有 12 4 3 231 4 5 56 6 7 78 9 8 9 ωl αl 陈列仍暗示:量子态1上有1个粒子,量子态2上没有粒子. 因为粒子不成分辩,因而这种互换不改变系统的形态. 中北大学 物理系 对于这种互换,第一个粒子能够有 αl 种; 第二个粒子能够有 (αl -1)种; 第αl个粒子能够有 1种; αl 个粒子间互换,但不改变系统形态的体例共有 αl !种 同样地,能够互换量子态. 12 3 4 56 789 1 234 56 78 9 ωl αl 1 3 2 1 234 4 5 56 6 7 78 9 8 9 ωl αl 因为统一能级上的量子态是简并的,因而也不成分辩的.交 换两个量子态后,陈列的体例不变.系统的形态不变. ( ωl -1)个量子态间互换(量子态1固定),但不改变 系统形态的体例共有 (ωl -1)!种 中北大学 物理系 αl个粒子占领能级εl上的ωl个 量子态,可能体例有 ( ωl+ αl –1)!/ [αl !( ωl – 1)!]种 将各类能级的成果相乘,就获得玻色系统取分布响应的微不雅 形态数为: ? ?B.E. ? l ??l ? al ?1? ! al!??l ?1? ! 中北大学 物理系 3 玻耳兹曼系统 特征:粒子可分辩,每个个别量子态能容纳的粒子个数不受 。 因为粒子能够分辩,若对粒子加以编号,则αl粒子占领能级εl 上的ωl个量子态时,是相互独立、互不联系关系的。 第一个粒子占领量子态的体例为 ωl种; 因为一个量子态上可容纳的粒子数不受,则第二个粒子 占领量子态的体例也为 ωl种; 第αl个粒子占领ωl个量子态的体例同样有 ωl 种. αl 个粒子占领能级εl上的ωl个 量子态可能的体例有 ωlαl 种 各能级成果相乘得占领各能级的量子态数共有 ?ωlαl 种体例 中北大学 物理系 因为粒子可分辩,则互换粒子,系统处于分歧的形态. 将N个粒子加以互换,也包罗统一个能级上粒子的互换, 可能呈现的分歧的形态的数目为N! 因为粒子正在统一个能级中进行互换后,相当于统一能级中 的粒子数αl 不变,则系统的能量E不发生变化,系统的形态 不异. 一个能级上αl个粒子的互换数为αl !,它们所对应的系统 形态不异. 对于玻耳兹曼系统,分布响应的系统的微不雅形态数为: ? ? ?M .B. ? N! al ! l ? al l l 中北大学 物理系 4 三个微不雅形态数之间的关系 若是正在玻色系统和费米系统中,任一能级εl上的粒子数均远 小于该能级的量子态数,即 al ?? 1 ?l 称为典范极限前提,也称非简并性前提。 暗示:正在所有的能级,粒子数都远小于量子态数。 ? ? ? 费米系统: ?F.D. ? l ?l! al! ?l ?1 ! ? ? ?l ??l ?1???? ??l ? al ?1? l al ! ? ? ? al ? ? l M .B. l al! 中N北! 大学 物理系 ? 玻色系统: ?B.E. ? l ??l ? al ?1?! al!??l ?1?! ? ? ??l ? al ?1???l ? al ? 2?????l l al ! ? ? ? al ? ? l M .B. l al ! N! 申明: 正在满脚典范极限前提的环境下,每个量子态上的平均粒子 数远小于1,粒子间的联系关系能够忽略. N个粒子订交换的互换数为N! 则费米分布和玻色分布都趋近于玻耳兹曼分布/N!. 以上为量子统计中的分布和微不雅状中态北数.大学 物理系 三 典范统计中的分布和微不雅形态数 粒子的度为r . 和响应粒的子r正在个任广一义时动刻量的p力1 学, 运p2动,…状,态pr由正在r该个时广刻义的坐数标值q所1 ,确q2定,。qr 响应于μ 空间中的代表点。 那么系统正在某一时辰的力动形态由r 个广义坐标q1 ,q2 , qr 和响应的r 个广义动量p1 , p2 ,…,pr 正在该时辰的数值所确定 响应于μ 空间中的N个代表点。 因为测不准关系中的p 和q 正在这里是持续变量,粒子和系统 的微不雅形态都是不成数的.假设?q ? p =h0是一个小量. 对于度为r 的粒子,响应于μ 空间中的一个相格h0 r . 中北大学 物理系 正在体积内含有几多个相格就有几多个活动形态.处正在统一相 格的代表点,代表不异的活动形态. 明显h0脚够小,就能够由粒子的活动形态代表点所正在的相格 确定粒子的活动形态. h0越小,越切确. 将μ 空间划分为很多个小体积元?ω L 此中所有粒子的能量均为ε L . 非论粒子处正在哪个相格中(也就是粒子正在哪个形态上), 只需所处体积元不异,其能量ε L就不异. 体积元?ω L内包含几多个相格h0 r ,就包含几多个粒子的 活动形态. 形态数为?ω L ? h0 r .可见这个量取量子统计中的简并度 相当. 中北大学 物理系 有了以上的量,能够对N个粒子正在各体积元?ω L的分布描 述如下: 体积元 ? ω1, ? ω2, … ? ωl,… 体积元中量子态个数 ? ω1 ? h0 r , ? ω2 ? h0 r ,… ? ωl ? h0 r ,… 体积元对应 能 量 ε1, ε2, … εl, … 体积元对应 粒子数 α1, α2, … αl,… 由于?ω L ? h0 r 对应于量子统计中的简并度ω L . 典范粒子可分辩,处正在统一相格内的典范粒子数没有. 典范统计取分布响应的微不雅形态数为: ? ? ?CL ? N! al ( ??l al ) l h0r l 中北大学 物理系 前一节中, 我们参照量子统计中的形式, 求出了典范统 计中的微不雅形态数. 可是无论是正在量子统计中仍是正在典范统计中, 我们所研 究的微不雅形态数都是取分布相对应的. 因而,我们要研究一下分布. 起首, 我们晓得微不雅形态数最多的分布, 呈现的概率最 大的称为最概然分布. 由于按照等概率道理,对于处正在均衡形态的孤立系统, 没每一个可能的微不雅形态呈现的几率是相等的。 因而最概然分布中的微不雅形态数越多,分布呈现的几 率越大. 下面将推导玻耳兹曼系统粒子的最概然分布——玻耳 兹曼分布。 中北大学 物理系 § 6.6 玻耳兹曼分布 斯太林公式: ln m!? m(ln m ? 1) ( m ?? 1) 取分布{al }对应的麦克斯韦-玻尔兹曼微不雅形态数?M.B 公式(简记为?)为 ? ? ?M .B. ? N! al ! l ? al l l 因为玻尔兹曼系统中粒子的最概然分布是使?为极大的 分布. 因为ln?随?的变化是枯燥的. 所以能够等价地会商使ln?为极大的分布. 中北大学 物理系 对上式取对数得: ? ? ln ?M .B. ? ln N!? ln al!? al ln ?l l l N1,若假设αl1 , ωl1,操纵斯太林公式可获得: ? ? ln ?M.B. ? N ?ln N ?1?? al ?ln al ?1?? al ln ?l l l ? ? ? ? N ln N ? N ? al ln al ? al ? al ln ?l l l l 分布要满脚束缚前提: ? al ? N l ? ?l al ? E l ? ? 得 ln ?M .B. ? N ln N ? al ln al ? al ln ?l l l 中北大学 物理系 从数学学问能够晓得,要想有极大值,必需满脚一级变 分为0. 我们令al 发生变化为? al,则ln?将发生变化为? ln? . 要想使ln?为极大的分布,就必需使? ln?=0 ? ? ? ln ?M.B. ? ? (N ln N ? al ln al ? al ln ?l ) l l ? ? 即 ? ? (N ln N ) ? ? ( al ln al ) ? ? ( al ln ?l ) l l ? ? ? ? l (?al ) ln al ?l ? l al? (ln al ) ? ? ? ? l (?al ) ln al ?l ? l ?al ? ? ? ? l (?al ) ln al ?l ? l al ( 1 al ?al ) 操纵?N ? ??al ? 0 l ? ? ln ?M .B. ? ? l (?al ) ln al ?l ?0 中北大学 物理系 分布不是完全独立的,必需满脚粒子数守恒和能量守恒. 分布的变化量? al也不完全独立,也必需满脚 ? ?al ? ?N ? 0 ? ? l?al ? ?E ? 0 l l 用拉格朗日常规变法: 为求正在此束缚前提下的最大值,利用拉格朗日乘数法,取 不决因子为α和β,乘分布必需满脚的前提,并从ln? 中减去, 得拉格朗日函数为: ? ln ?M.B. ???N ? ??E ? 0 即 ? ? ln ?M .B. ?? ?N ? ??E ? ? l ???? ln al ?l ?? ? ??l ? ???al ? ?0 按照拉格朗日乘数法道理,每个? al 的系数都等于0,有 ln al ?l ?? ? ?? l ?0 中北大学 物理系 ln al ?l ?? ? ?? l ?0 ln al ?l ? ?? ? ?? l 即: al ? ?l e?? ???l al ? e?? ???l ?l 表白:最概然分布下,处正在能级? l 的粒子数. 上式给出了玻耳兹曼系统粒子的最概然分布,称为麦克斯 韦-玻耳兹曼分布。 此中确定拉氏乘子为α和β的前提为: ? N ? ? e?? ?? ?l l l ? E ? ? ? e?? ???l ll 中北l 大学 物理系 正在很多现实问题中,也往往将β看做由尝试确定的已知参量 而由 ? E ? ?lal 确定系统的内能. l 或将a和β都当做由尝试确定的已知参量, ? 由 ? al ? N al?l ? E 确定系统的平均总粒子数和内能. l l 能级的εl有ωl个量子态处正在此中任何一个量子态上的平均粒 子数该当是不异的,因而处正在能量为εS 的量子态S上的平均粒子数 为: fs ? as ?s ? e?? ???s ? 总粒子数和能量可别离暗示为: N ? ? fs E ? fs? s s s 中北大学 物理系 对粒子的所有的量子态乞降,可得N和E为: ? N ? e ?? ?? ?s s ? E ? ? e ?? ?? ?s s s ln?的一级变分为0,表白存正在极值,下面临ln?取二级变分, 鉴定它是极大值仍是极小值. ? ? ? 2 ln ?M ?B ? ?? l ln( al ?l )?al ?? i (?al )2 al 因为al ?0,明显?2ln??0,即玻尔兹曼分布是使ln?为 极大值的分布。 中北大学 物理系 假设有一分布{ al + Δ al }(对应的微不雅形态数为? +Δ ? )取玻尔兹曼分布(对应的微不雅形态数为? )有一微 小偏离? al /al ?10-5 ,则 ln(? ? ??) ? ln ? ? ? ln ? ? 1 ? 2 ln ? ?? 2 ? ? ln ?M .B. ? ? l (?al ) ln al ?l ?0 ? ? 2 ln ?M ?B ? ? i (?al )2 al ? ln?? ? ??? ? ln ? ? 0 ? 1 (?al )2 2 i al ? ln?? ? ? ???? ? ? 1 (?al )2 ? ? ? 2 i al 中北大学 物理系 细小偏离? al /al ?10-5 ,则 ? ln?? ? ??? ? ln ? ? 1 2 i al ???? ?al al ?2 ?? ? ? ? 1 10?10 2 N 对于 N?1023 的宏不雅系统,可得 ? ? ?? ? (e?10 13 ) ?0 ? 可见,即便取最概然分布仅有极小误差的分布,它的微不雅状 态数取最概然分布的微不雅形态数比拟曾经微不脚道,误差越大, 这个比值越小。因而,最概然分布完全能够代表系统实正的统计 分布。最概然分布的微不雅形态数,很是接近于全数可能的微不雅状 态数.按照等概率道理,处正在均衡态下的孤立系统,每一个可能 的微不雅形态呈现的概率相等.若是我们忽略其他分布而认为正在平 衡形态下粒子本色上处正在玻尔兹曼分布,所惹起的误差是能够忽 略的. 玻尔兹曼分布{ al }是最概然分布。 中北大学 物理系 正在推导最概然分布时,使用了al1 , ωl1, ωl- al 1等 前提,这些前提现实上是不满脚的,这是推导过程的一个严沉的 错误谬误,我们将正在后边的进修顶用巨正则系统求平均分布的方式 严酷地导出这些分布. 正在前面的推导中,假设系统只含有一种粒子,即系统是单 元系. 最可几分布的推导也能够推广到含有多个组元的环境。 典范统计中玻尔兹曼分布的表达式: al ? e?? ???l ??l h0r 此中确定拉氏乘子为α和β的前提为: ? N ? l ? e ?? ?? ?l ? l h0r ? E ? l ? ? e?? ???l l ?l h0r 中北大学 物理系 § 6.7 玻色分布和费米分布 上节课中曾经求出了玻耳兹曼系统的最概然分布,本节将 推导玻色系统和费米系统中粒子的最概然分布。 考虑处正在均衡形态的孤立系统. 具有确定的粒子数N,体积V,能量E. ? l(l=1,2,?)暗示粒子的能级. ?l暗示能级? l的简并度。 分布{al}暗示处正在各能级上的粒子数。 分布{al}要满脚束缚前提: ? al ? N l ? ? l al ? E l 取分布{al}响应的微不雅形态数: ? (1)费米系统: ?F.D. ? l ?l ! al!??l ? al ? ! (2)玻色系统: 中北大学 ? ?B.E. ? l ??l ? al ?1? ! al!??l ?1? ! 物理系 一 起首考虑费米系统的最概然分布。 1 ? ? ? 对 ?F.D. ? l ?l ! al! ?l ? al ! 取对数得: ? ln ?F.D. ? ln[ l ?l ! al!??l ? al ? ] ! ? ln ?F.D. ? [ln ?l!? ln al!? ln??l ? al ? !] l 2 N1,若假设αl1 , ωl1,则ωl ?αl 1, 操纵斯太林公式可获得: ? ln ?F.D. ? [?l (ln ?l ?1) ? al (ln al ?1) ? ??l ? al ?(ln ??l ? al ) ?1?] l 中北大学 物理系 ? ? [?l ln ?l ? ?l ? al ln al ? al ? ??l ? al ?ln??l ? al ?? ??l ? al ?] l ? ln ?F.D. ? [?l ln ?l ? al ln al ? ??l ? al ?ln??l ? al ?] l 3 我们令al 发生变化为? al,则ln?将发生变化为? ln? . 要想使ln?为极大的分布,就必需使? ln?=0 ? ? ln ?F.D. ? ?{ [?l ln ?l ? al ln al ? ??l ? al ?ln??l ? al ?]} l ? ? {??l ln ?l ? ?l? (ln ?l ) ? ?al ln al ? al? (ln al ) l 0 0 ?? ??l ? al ?ln??l ? al ?? ??l ? al ??[ln??l ? al ?]} 0 中北大学 物理系 ? ? l {0 ? 0 ? ?al ln al ? al (1 al ?al ) ? ?al ln ??l ? al ?? ??l ? al ?[ ??l 1 ? al ?? ??l 0 ? al ?]} ? ? [ ? ?al ln al ? ?al ? ?al ln??l ? al ?? ?al ] l ? ? ln ?F.D. ? [ ln??l ? al ?? ln al ]?al ? 0 l 分布不是完全独立的,必需满脚粒子数守恒和能量守恒. 分布的变化量? al也不完全独立,也必需满脚 ? ?al ? ?N ? 0 l ? ? l?al ? ?E ? 0 l 中北大学 物理系 4 用拉氏变换: 将拉氏乘子α和β乘以分布必需满脚的前提, 并从ln?中减去,得 ? ln ?F.D. ???N ? ??E ? 0 即 ? ? ? [ln ??l ? al ?? ln al ]?al ? ??al ? ?? l?al ? 0 l l l ?[ln ??l ? al ?? ln al ? ? ? ?? l ]?al ? 0 l 按照拉氏道理,每个? al 的系数都等于0. ln??l ? al ?? ln al ?? ? ?? l ? 0 5 按照上式能够求出费米系统的最概然分布----费米分布 ln ??l ? al al ? ? ? ? ?? l ?l ?1 ? e? ???l al al ? ?l e? ???l ?1 中北大学 物理系 此中确定拉氏乘子为α和β的前提为: ? ? N ? l ?l e? ? ??l ? 1 E? l ? l?l e? ? ??l ? 1 正在很多现实问题中,也往往将β看做由尝试确定的已知参量.可 以由? ?l al =E确定系统的内能. 也将a和β都当做由尝试确定的已 知参量, 由 ? al =N, ? ?l al =E确定系统的平均总粒子数和内能. 6 能级的εl有ωl个量子态处正在此中任何一个量子态上的平均粒 子数该当是不异的,处正在能量为εS 的量子态S上的平均粒子数: fs ? as ?s ? 1 e? ???s ?1 总粒子数和能量可别离暗示为: ? ? N ? s fs ? s 1 e? ???s ? 1 ? ? E ? s中f北s? s 大? 学s e? ? ?s ?物?s ?理1 系 二 考虑玻色系统的最概然分布。 1 ? 对 ?B.E. ? l ??l ? al ?1? ! al!??l ?1? ! 取对数得: ? ln ?B.E. ? ln[ l ??all!???al l??11?!?!] ? ln ?B.E. ? [ln ??l ? al ?1?!? ln al!? ln??l ?1?!] l 2 N1,若假设αl1 , ωl1,则ωl +αl ?1 1, 操纵斯太林公式可获得: ? ln ?B.E. ? {??l ? al ?1?[ln??l ? al ?1??1] ? al (ln al ?1) l ? ??l ?1?[ln??l ?1??1]} 中北大学 物理系 ? ? {??l ? al ?1?ln??l ? al ?1?? ??l ? al ?1?? al ln al ? al l ? ??l ?1?ln??l ?1?? ??l ?1?} ? ln ?B?E ? {??l ? al ?1?ln??l ? al ?1?? al ln al ? ??l ?1?ln??l ?1?} l αl1 , ωl1,则ωl +αl ?1 1, ? ln ?B?E ? [??l ? al ?ln ??l ? al ?? al ln al ? ?l ln ?l ] l 3 我们令al 发生变化为? al,则ln?将发生变化为? ln? . 要想使ln?为极大的分布,就必需使? ln?=0 ? ? ln ?B?E ? ?{ [??l ? al ?ln??l ? al ?? al ln al ? ?l ln ?l ]} l 中北大学 物理系 ? ? ln ?B?E ? [? ??l ? al ?ln??l ? al ?? ??l ? al ?? ln??l ? al ? l0 ? ?al ln al ? al? ln al ? ??l ln ?l ? ?l? ln ?l ]} 0 0 ? ? ln ?B?E ? l [?al ln ??l ? al ?? ??l ? al ?[ ?l 1 ? al ? ??l ? al ?] ? ?al ln al ? al [ 1 al ?al ]} ? ? ln ?B?E ? [?al ln??l ? al ?? ? ??l ? al ?? ?al ln al ? ?al ] l 0 ? ? ln ?B?E ? [?al ln??l ? al ?? ?al ln al ] l 中北大学 物理系 ? ? ln ?B?E ? [ln ??l ? al ?? ln al ]?al ? 0 l 分布不是完全独立的,必需满脚粒子数守恒和能量守恒. 分布的变化量? al也不完全独立,也必需满脚 ? ?al ? ?N ? 0 l ? ? l?al ? ?E ? 0 l 4 用拉氏变换: 将拉氏乘子α和β乘以分布必需满脚的前提,并 从ln?中减去,得 ? ln ?B.E. ???N ? ??E ? 0 ? ? ? 即 [ln ??l ? al ?? ln al ]?al ? ??al ? ?? l?al ? 0 l l l ?[ln ??l ? al ?? ln al ? ?? ? ? ?? l ]?al ? 0 l l l 中北大学 物理系 按照拉氏道理,每个? al 的系数都等于0. ln??l ? al ?? ln al ? ?? ? ? ?? l ? 0 l l 5 按照上式能够求出玻色系统的最概然分布----玻色分布 ln ??l ? al al ? ? ? ? ?? l ?l ?1 ? e? ???l al al ? ?l e? ???l ?1 此中确定拉氏乘子为α和β的前提为: ? ? N ? l ?l e? ? ??l ? 1 E? l ? l?l e? ? ??l ? 1 正在很多现实问题中,也往往将β看做由尝试确定的已知参量.可 以由? ?l al =E确定系统的内能. 也将a和β都当做由尝试确定的已 知参量, 由 ? al =N, ? ?l al =E确定系统的平均总粒子数和内能. 中北大学 物理系 6 能级的εl有ωl个量子态处正在此中任何一个量子态上的平均粒 子数该当是不异的,处正在能量为εS 的量子态S上的平均粒子数: fs ? as ?s ? 1 e? ???s ?1 总粒子数和能量可别离暗示为: ? ? N ? s fs ? s 1 e? ???s ?1 ? ? E ? s fs?s ? s ?s e? ???s ?1 中北大学 物理系 § 6.8 一 三种分布 三种分布的关系 费 米 分布 al ? ?l e? ???l ?1 玻耳兹曼 分布 al ? ?l e? ???l 玻 色 分布 al ? ?l e? ???l ?1 al ? ?l e? ???l ?b b=1 b=0 b=-1 此中确定α和β的前提为: N ? ? al l ? E ? ? l al l 中北大学 物理系 几点平述: 1 、由下式确定拉氏乘子α和β的值. ? al ? N l ? εlal ? E l 正在很多现实问题中,也往往将β看做由尝试确定的已知参 量而由 ? E ? εl al l 确定系统的内能.或将α和β都 当做由尝试确定的已知参量,而由下式确定系统的平均总粒子 ? 数和内能. al ? N l ? εlal ? E l 中北大学 物理系 2 、能级的ε l有ω l个量子态处正在此中任何一个量子态上 的平均粒子数该当是不异的,因而处正在能量为ε S的量子态S 上的平均粒子数为: fs ? as ωs e? α? βεs 定域系统 即: fs ? as ωs 1 eα? βεs ? 1 费米系统 1 eα? βεs ? 1 玻色系统 中北大学 物理系 总粒子数和能量可别离暗示为: N = ? fs = s ? e?α? βεS s ?1 s eα? βεS ? 1 定域系统 “+”费米系统 “-”玻色系统 E = ? fsεs = s ? ε e?α?βεS s s ? εs s eα? βεS ? 1 定域系统 “+”费米系统 “-”玻色系统 (式中εs 为粒子的所有量子形态乞降 ) 中北大学 物理系 3 、若α满脚 eα ??1 则 有: al ? ωl eα? βεs ?1 ? ωl eα? βεs 这时玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布,上式 可知: al ωl ? 1 eα? βεl ?? 1 这时任一量子态上的平均粒子数都远小于1,这个式子就是 前边提到的所谓的非简并性前提.也就是典范极限前提. 当非简并前提满脚时,费米分布和玻色分布都过渡到玻耳 兹曼分布. 中北大学 物理系 4 、正在推导最概然分布时,使用了αl1 , ωl1, αl -ωl 1等前提,这些前提现实上是不满脚的,这是推导过程的一个 严沉的错误谬误,我们将正在后边的进修顶用巨正则系统求平均分 布的方式严酷地导出这些分布. 5 、定域系统和满脚典范极限前提的玻色(费米)系统虽然遵 从同样的分布,但它们的微不雅形态数是分歧的.前者为ΩM.B., 后者为ΩM.B./N!因而对那些间接由分布函数导出的热力学 量,两者具有不异的统计表达式.然而,对于例如熵和能等 取微不雅形态相关的热力学量,两者的统计表达式有差别. 中北大学 物理系 度r 例如: 若粒子正在一维空间中活动,其度数为1 若粒子正在二维空间中活动,其度数为2 若粒子正在三维空间中活动,其度数为3 若粒子正在N 维空间中活动,其度数为N 若粒子正在r 维空间中活动, 其度数为r 中北大学 物理系 设系统由两个粒子构成,粒子的个别量子态有3个,若是 这两个粒子是定域子、玻色子、费米子时,试别离会商系统各 有那些可能的微不雅形态? 费米系统:粒子不成分辩,每个个别量子态最多能容纳 一个粒子,两个粒子占领3个个别量子态有以下的体例: 量子态1 ① A ② ③ A 量子态2 A A 量子态3 A A 因而,对于费米系统,能够有3个分歧的微不雅形态 中北大学 物理系 玻色系统:粒子不成分辩,每一个个别量子态所能容 纳的粒子数不受,因为不成分辩,令A=B,两个粒子 占领3个个别量子态有以下的体例: 量子态1 ① AA ② ③ ④ A ⑤ ⑥ A 量子态2 AA A A 量子态3 AA A A 因而,对于玻色系统,能够有6种分歧的微不雅形态 中北大学 物理系 定域系统,粒子能够分辩,每个个别量子态能容纳的粒 子数不受,以A、B 暗示能够分辩的两个粒子,它们占 据3个个别量子态能够有以下的体例: ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 量子态1 AB ABAB 量子态2 AB BA AB 量子态3 AB BABA 因而,对于定域系统可有9种分歧的微不雅形态 中北大学 物理系 证明:斯太林公式 ln m!? ln[m? (m ?1) ? (m ? 2)?2?1] ? ln m ? ln(m ?1) ??? ln 2 ? ln1 上式等于图中一系列矩形面积之和. 各矩形宽为1,高别离为ln 1, ln 2, ?ln m, 当m ?? 1时,矩形面积之 ln x 和近似等于曲线lnx下的面积. ln 2 乞降就变为积分了! ln 1 m ln m!? ? ln xdx 1 01 2 3 4 5 6 7 x 中北大学 物理系 m m ? ? ln m!? ln xdx 分步积分 ? x ln x m ? xd ln x 1 1 1 ? ? x ln x m ? m x(1 dx) 11x ? x ln x m ? x m 1 1 ? (mln m ? 0) ? (m ?1) ? m(ln m ?1) ?1 当m ?? 1 时, ln m!? m(ln m ?1) 中北大学 物理系 对 ? ? ?M .B. ? N! al ! l ? al l 取对数得: l ? ? ln ?M.B. ? ln N! al ! l ? al l l ? ? ? ln N!? ln( al!)?1 ? ln ? al l l l ? ? ln ?M .B. ? ln N!? ln al!? al ln ?l l l 中北大学 物理系 中北大学 物理系